在二维笛卡尔平面上绕任意点旋转某一点在图像处理、二维游戏中广泛应用。本文将详细描述如何在二维笛卡尔平面上绕任意点旋转某一点的方法。

1 简单的方法(不推荐)

举一个例子,假设点A(4,3)绕原点O逆时针旋转30度,如果对三角函数和极坐标有所了解,那么我们可能会按照以下步骤进行点的旋转。

计算几何 – 二维笛卡尔坐标系中,计算二维点绕任意中心点旋转任意角度的结果-StubbornHuang Blog

第一步

首先将点的坐标从笛卡尔坐标转换为极坐标,极坐标通过点与原点的距离r和与x轴的角度\theta来定义点的位置。

使用勾股定理找到与原点的距离,

x^{2} +y^{2} = r^{2}

我们将点A坐标(4,3)代入上式,得到r=5

r确定之后,就需要确定与x轴的角度\theta,其中

\tan^{-1} (\frac{y}{x} )

我们将点A坐标(4,3)代入上式,则可以得出\theta = 36.87度。这里要注意的是,在编写程序代码的时候需要使用函数atan2(),不要使用函数atan()

第二步

将点A旋转30度,可以将点A原有与x的夹角36.87度加上旋转角度从而得到旋转后的角度66.87度。

第三步

将极坐标转换回笛卡尔坐标。

旋转点从极坐标转换为笛卡尔坐标的公式为:

\begin{array}{c}
x = rcos(\theta ) \\
y = rsin(\theta )
\end{array}

我们将第一步和第二步计算的r=5\theta=66.87,将这两个数值代入上式,可以计算出点A绕原点O逆时针旋转30度后的坐标为(1.964,4.598)

我们可以通过上述的三个步骤得到某点绕原点旋转某个角度后的正确结果,但是这种方法需要通过计算5次乘法、3次三角函数,1次平方根和1次加法,这种方法的计算效率还有待提升。

2 改良的方法(推荐)

2.1 任意点绕原点旋转任意角度

设点A(x_{0} ,y_{0})绕原点O旋转\theta角度,则那么旋转后的坐标可通过以下公式计算:

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