本文作者:StubbornHuang
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原文标题:旋转矩阵与四元数的转换
原文链接:https://www.stubbornhuang.com/773/
发布于:2020年03月27日 17:16:08
修改于:2021年10月28日 9:37:15

1 左手坐标系下四元数转换为旋转矩阵
1.1 转换思路
给定一个用于旋转的单位四元数q=w+xi+yj+zk和被旋转的三维向量v,那么首选需要构造一个纯四元数:
设旋转后的向量为v',那么旋转之后的向量构造的纯四元数为
那么,
1.2 转换过程和结果
假设有单位四元数q=w+xi+yj+zk,其中x^2+y^2+z^2=1,那么我们可以通过该四元数构造一个旋转矩阵,设旋转矩阵的形式如下
若四元数为行主序的旋转矩阵,则该旋转矩阵为:
若四元数为列主序的旋转矩阵,则该旋转矩阵为:
2 旋转矩阵转换为四元数
2.1 转换前提
旋转矩阵为正交矩阵即旋转矩阵满足RR^T=R^TR=I,其中I为单位矩阵。
2.2 转换思路
2.2.1 行主序的旋转矩阵转换
这里上述行主序的旋转矩阵为示例进行说明:
观察下列式子:
我们可以观察到经过上述拼凑的等式,我们可以发现,如果我们可以再使用一个表达式表示分量w,那么x,y,z分量就可以被表示,我们观察下个式子:
其中tr(R(q))是矩阵的迹。
trace为旋转矩阵对角线元素的和,现在w分量可以用矩阵中的元素表示,那么x,y,z分量也可以用w进行表示:
x=\frac{m_{32}-m_{23}}{4w}\\
y=\frac{m_{13}-m_{31}}{4w}\\
z=\frac{m_{21}-m_{12}}{4w}
2.2.2 列主序的旋转矩阵转换
拼凑式子:
则:
其中tr(R(q))是矩阵的迹。
trace为旋转矩阵对角线元素的和,现在w分量可以用矩阵中的元素表示,那么x,y,z分量也可以用w进行表示:
x=\frac{m_{23}-m_{32}}{4w}\\
y=\frac{m_{31}-m_{13}}{4w}\\
z=\frac{m_{12}-m_{21}}{4w}
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